問題:
$$ a_{n} = \frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} + \left(\frac{3}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right\} \ \ \ (n = 0, 1, 2,\ ...) $$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = 0$ のための、初期値 $a_{0}$、$a_{1}$ に対する必要十分条件を求めよ。

$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{n} \to \infty$ より $\displaystyle \frac{a_{0}}{4} + a_{1} = 0$ が必要。$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \to 0$ より十分でもある。

まず、$n$ が非負整数であることから、$\displaystyle \left|\frac{3}{2}\right| \gt 1$ および $\displaystyle \left|-\frac{1}{2}\right| \lt 1$ より、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3}{2}\right)^n = \infty$ かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n = 0$ です。

したがって、式から $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$ を求めるには、$n$ が大きくなるにつれて、$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ が支配的な項であることに注意して、$a_{0}$ および $a_{1}$ によらずに $\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ を約分する必要があります。

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} &=& \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} + \left(\frac{3}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right\} \\ &=& \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} + \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\ &=& \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} \end{eqnarray}

この式が $0$ に収束するには、$\displaystyle \frac{1}{2}a_{0} + a_{1} = 0$ すなわち $\displaystyle a_{1} = -\frac{1}{2}a_{0}$ である必要があります。逆に、$\displaystyle a_{1} = -\frac{1}{2}a_{0}$ である場合、上記の式が常に $0$ に収束することがわかります。

したがって、初期値 $a_{0}$、$a_{1}$ に対する必要十分条件は、$\displaystyle a_{1} = -\frac{1}{2}a_{0}$ です。

まず、数列 $a_n$ の一般項を式変形して整理してみましょう。

\begin{eqnarray} a_{n} &=& \frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} + \left(\frac{3}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right\} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ \end{eqnarray}

この式から、$n$ が偶数のときは、$a_n$ は正の数となり、$n$ が奇数のときは、$a_n$ は負の数となります。すなわち、数列 $a_n$ は振動するような性質を持っています。また、$a_0$ と $a_1$ の値によっては、数列 $a_n$ が発散することもあります。

次に、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0$ ならば、$\displaystyle \frac{a_0}{2} + a_1 = 0$ であることを証明します。

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0$ であると仮定すると、$n$ が大きくなるにつれて、$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^n$ の影響が支配的となります。すなわち、$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_0+a_1\right)\left(\frac{3}{2}\right)^n$ の形に近づきます。つまり、

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} = 0 \end{eqnarray}

この式から、$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_0 + a_1\right) = 0$ となります。したがって、$\displaystyle \frac{a_0}{2} + a_1 = 0$ が成り立ちます。

よって、与式の主張「$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0$ ならば $\displaystyle \frac{a_0}{2} + a_1 = 0$」は正しいです。

与えられた漸化式より、$a_n$ を計算すると、

$$a_n = \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}a_0 + a_1\right) \left(\frac{3}{2}\right)^n - 3\left(\frac{1}{2}a_0 - a_1\right) \left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}$$

ここで、$n \rightarrow \infty$ のとき、$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^n$ は指数関数的に増加し、$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ は指数関数的に減少するため、$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}a_n$ が存在するためには、$\displaystyle \frac{1}{2}\left|\frac{1}{2}\right| + \frac{3}{2}\left|-\frac{1}{2}\right| \lt 1$ すなわち、$a_0 = 2a_1$ が成立している必要があります。

そして、$a_0 = 2a_1$ と仮定すると、$a_n$ を次のように簡略化することができます。

\begin{eqnarray} a_{n} &=& \frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - 3\left(\frac{1}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\} \\ &=& \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}a_{0} + a_{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^{n - 1} - \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}a_{0} - a_{1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1} \\ \end{eqnarray}

$n \rightarrow \infty$ のとき、$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{n - 1}$ は発散し、$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}$ は $0$ に収束するため、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = 0$ は、$\displaystyle \left(\frac{1}{2}a_0 + a_1\right) = 0$ を意味します。

つまり、$\displaystyle \frac{a_0}{4} + a_1 = 0$ が成立します。したがって、「$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0$ ならば $\displaystyle \frac{a_0}{4} + a_1 = 0$」は正しいです。